正交各向異性_平面正交各向異性體材料參數識别的新方法

來源:思想彙報 發布時間:2019-07-23 04:38:23 點擊:

  摘要: 為有效确定平面正交各向異性體的材料參數,提出一種基于比例邊界有限元法(Scaled Boundary Finite Element Method,SBFEM)和混合粒子群算法的識别方法.該方法以測量位移與SBFEM計算相應的位移之差的平方和最小為基礎,采用粒子群優化(Particle Swarm Optimization, PSO)算法全局搜索材料參數.為加快收斂速度和提高反演識别精度,在PSO算法中引入自然選擇的機制.采用SBFEM進行正分析問題計算時,隻需對計算域邊界進行數值離散,大大減少計算量.相對于邊界元法,SBFEM不需要基本解.數值算例表明所提出的方法有效.
  關鍵詞: 平面正交各向異性體; 比例邊界有限元法; 反分析方法; 粒子群優化算法
  中圖分類号: O343 文獻标志碼: A
  New method for identifying material parameters of
  plane orthotropic bodies
  CHEN Shenshen, LI Qinghua, CHEN Haitao
  (College of Civil Engineering, Hunan University of Technology, Zhuzhou 412007, Hunan, China)
  Abstract: To determine the material parameters of plane orthotropic bodies effectively, a new identification method is proposed by combining the Scaled Boundary Finite Element Method(SBFEM) with the hybrid particle swarm algorithm. The method is based on the minimization of the square sum of differences between the measured displacements and those calculated by SBFEM. The global search of material parameters is implemented by the Particle Swarm Optimization (PSO) algorithm. To speed up the convergence rate and enhance inverse identification precision, the natural selection mechanism is introduced into the PSO algorithm. The direct problems are solved by the SBFEM, which only requires the boundary of the problem to be discretized and therefore reduces the computational cost greatly. However, compared with the boundary element method, SBFEM requires no fundamental solution. The results of the numerical examples show that the proposed method is effective.
  Key words: plane orthotropic body; scaled boundary finite element method; inverse method; particle swarm optimization algorithm
  收稿日期: 2013-05-02 修回日期: 2013-06-10
  基金項目: 國家自然科學基金(11002054)
  作者簡介: 陳莘莘(1975—),男,江西贛州人,副教授,博士,研究方向為計算力學及其工程應用,(E-mail)chenshenshen@tsinghua.org.cn
  0 引 言
  準确的正交各向異性複合材料結構性能參數信息,對複合材料結構的力學行為分析以及強度評價至關重要.随着計算機技術的飛速發展,采用仿真結合試驗的反分析方法不失為獲取這些材料參數的有效途徑.[1-3]
  反分析問題求解需反複疊代,多次進行正分析問題計算,因此正分析數值方法的選擇十分關鍵.WOLF等[4-5]率先提出和發展起來的比例邊界有限元法(Scaled Boundary Finite Element Method, SBFEM),綜合有限元法和邊界元法的優點,僅需用有限元離散部分邊界即可将問題降低一維,大大減少計算工作量.相對于邊界元法,SBFEM不需要基本解,也不涉及奇異積分的處理,具有較高的計算精度.目前,這種方法已被廣泛應用于求解斷裂力學[6-7]、結構與地基的動力相互作用[8-9]以及靜電場問題[10]等.本文将SBFEM應用于正分析問題的計算.
  材料參數的估計值由優化方法搜尋得到.目前,大多數文獻都采用傳統的基于梯度的優化方法,如LM(Levenberg-Marquardt)法等.基于梯度的優化方法存在結果較大程度上依賴于初值的選取、難以進行多參數優化以及優化結果易陷入局部極值等缺點.[11-12]因此,為更有效地進行反演分析研究,有必要尋求更好的優化方法.
  近些年發展起來的粒子群優化(Particle Swarm Optimization, PSO)算法通過群體中各個粒子間的合作與競争而産生群體智能指導優化搜索,具有計算簡單、不需要目标函數可微和連續以及收斂性能好等優點.[13-14]本文首先在PSO算法中引入自然選擇的機制,進一步增強全局搜索能力[15],然後将其與SBFEM相結合,構建識别正交各向異性體材料參數的新方法;實例計算分析表明,采用本文方法識别正交各向異性體材料參數行之有效.   1 正交各向異性材料應力-應變關系
  當正交各向異性平面問題材料主軸與1-2坐标系的坐标軸重合時,平面應力問題的彈性本構關系可表示為σ=Dε(1)式中:D=S-1,為3×3的剛度矩陣.柔度矩陣S可由柔度系數sij表示為S=s11s120
  s21s220
  00s66(2)由于柔度系數的對稱性,即s12=s21,因此隻有4個獨立的柔度系數,即s11,s22,s12和s66.
  式(1)中的應力σ與應變ε可分别用向量形式表示為σ=[σ11σ22τ12]T
  ε=[ε11ε22γ12]T(3)
  2 正分析的比例邊界有限元法
  在SBFEM中,需要建立包括徑向坐标ξ和環向坐标η的坐标系統,見圖1.
  圖 1 比例邊界坐标定義
  Fig.1 Definition of scaled boundary coordinates
  比例中心O的選擇很重要,要求從其可以看到域邊界的所有點.對于更複雜的區域,可将該區域分成若幹個子域,每個子域内都設置自己的比例中心.對于有限域問題,徑向坐标ξ值從中心處為0到邊界上為1變動.比例邊界坐标(ξ,η)與笛卡爾坐标(x^,y^)的關系為x^=x^0+ξx(η)
  y^=y^0+ξy(η)(4)式中:(x^0,y^0)為比例中心;(x(η),y(η))為邊界上任意點坐标;(,)為域内點坐标.
  在SBFEM中,域内任意點(ξ,η)處的位移可近似表達為u(ξ,η)=N(η)u(ξ)(5)式中:N(η)為環向的形函數矩陣;u(ξ)為徑向位移函數.
  對于二維靜力學問題,比例邊界有限元控制方程[4-5]可表達為P=E0u(ξ),ξ+ET1u(ξ)ξ=1(6)E0ξ2u(ξ),ξξ+(E0+ET1-E1)ξu(ξ),ξ-E2u(ξ)=0(7)式中:P為等效邊界節點力向量;E0,E1和E2為依賴于子域幾何形狀和材料參數的系數矩陣,由子域邊界上各單元系數矩陣按有限元方式組裝得到,E0=∫+1-1B1(η)TDB1(η)Jdη(8)E1=∫+1-1B2(η)TDB1(η)Jdη(9)
  E2=∫+1-1B2(η)TDB2(η)Jdη(10)式中:J為雅可比矩陣的行列式,J=x(η)y(η),η-y(η)x(η),η(11)B1(η)和B2(η)為描述應變-位移關系的矩陣,
  B1(η)=1Jy(η),η0
  0-x(η),η
  -x(η),ηy(η),ηN(η)(12)
  B2(η)=1J-y(η)0
  0x(η)
  x(η)-y(η)N(η),η(13)
  式(7)為2階Euler-Cauchy齊次方程,可以求解析解.為便于求解,引入新變量X(ξ)和哈密頓矩陣Z,X(ξ)=u(ξ)
  Q(ξ)(14)
  Z=E-10ET1-E-10
  E1E-10ET1-E2-E1E-10(15)将式(7)轉化為1階常微分方程,得ξX(ξ),ξ=-ZX(ξ)(16)在式(14)中,Q(ξ)為u(ξ)的對偶變量,即Q(ξ)=E0ξu(ξ),ξ+ET1u(ξ)(17) 為求解式(16),首先求解Z的特征值,
  ZΦ11Φ12
  Φ21Φ22=Φ11Φ12
  Φ21Φ22-λi0
  0λi(18)
  式中:λi為特征值對角矩陣;Φ11,Φ12,Φ21和Φ22均為特征向量矩陣.
  進一步可得u(ξ)=Φ11ξ-λic1+Φ12ξλic2(19)
  Q(ξ)=Φ21ξ-λic1+Φ22ξλic2(20)式中:c1和c2均為積分常數.
  對于有限域問題,在ξ=0處取有限值,λi的實部為負,因此c2=0.式(19)和(20)進一步簡化為u(ξ)=Φ11ξ-λic1(21)
  Q(ξ)=Φ21ξ-λic1(22) 在式(21)和(22)中消去c1,并由式(6)可得P=Φ21Φ-111u=Kbu(23)式中:u為邊界節點位移,可在引入位移約束條件後由式(23)計算得到.
  邊界上其他位置的位移可進一步通過插值的方式求得,計算域内的位移則可以通過徑向解析求得.
  3 正交各向異性平面問題材料參數識别算法3.1 目标函數
  材料參數識别問題可歸結為調整識别的材料參數s=(s11,s22,s12,s66)T,直到一定參數的計算位移與測量位移之差達到最小二乘最小,目标函數可定義為f(s)=ni=1(ui(s)-u-i)2, n≥m(24)式中:ui(s)為比例邊界有限元計算的位移;u-i為測量的位移;n為測量位移的數量;m為識别材料參數的數量.
  3.2 PSO算法
  PSO算法的原理是模拟鳥群飛行覓食的行為,通過鳥群之間的集體協作,使群體達到最優.在PSO算法中,每個優化問題的解都是搜索空間中的一隻鳥,稱為粒子;所有粒子都有一個由目标函數決定的适應值,每個粒子還有一個速度決定它們飛行的方向和距離.粒子們知道自己到目前為止發現的最好位置和現在的位置,這個可以看作是粒子自己的飛行經驗;每個粒子還知道到目前為止整個群體中所有粒子發現的最好位置,這個可以看作是粒子同伴的經驗.每個粒子根據如下公式更新自己的速度和位置[13-15],vi,j(t+1)=wvi,j(t)+c1r1(pi,j-xi,j(t))+c2r2(pg,j-xi,j(t))(25)xi,j(t+1)=xi,j(t)+vi,j(t+1)(26)式中:j表示粒子的第j維;i表示第i個粒子;t表示粒子進化代數;w為慣性權因子;c1和c2為學習因子;r1和r2為0~1均勻分布的随機數;pi,j表示第i個粒子所經曆的最好位置的第j維分量;pg,j表示群體最好位置的第j維分量.   粒子通過不斷學習更新,最終飛行至解空間中最優解所在的位置.在更新過程中,粒子的每一維坐标都被限制在根據先驗信息設定的材料參數搜索範圍内.此外,當粒子坐标不滿足柔度系數的約束條件s11s22-s212>0時,由式(27),(28)或(29)之一調整粒子坐标,s11=s212s22(1+ε)(27)
  s22=s212s11(1+ε)(28)
  s12=s11s22(1-ε), s12>0
  -s11s22(1-ε), s12   [6] LI C, MAN H, SONG C M, et al. Fracture analysis of piezoelectric materials using the scaled boundary finite element method[J]. Eng Fracture Mech, 2013, 97(1): 52-71.
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  (編輯 陳鋒傑)

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